第一周作业讨论

问题 1

• 一些同学猜测 \(\hbar\) 变大后“时间或空间会变得更不连续”。这个说法比较 tricky。物理系统可以大致分为两类：

  • 连续系统，例如 QFT，string theory；
  • 离散系统，例如各种格点模型。

  目前与实验观测符合最好的标准模型与广义相对论属于连续系统。在 Planck 长度之下正确的理论是什么，我们并不清楚。因此不应先验的想象成类似于格点模型的离散系统。

  更具体一点，在讨论量子引力的时候一个初步的方案是引力路径积分。回忆到路径积分的基本想法是对一个粒子的所有路径按照权重 \(\exp{i\frac{ S}{\hbar}}\) 求和，积分区域是路径空间。 当考虑量子引力的时候，\(S\) 除了包含描述物质场的标准模型作用量，还会包含描述引力的 Einstein-Hilbert action 及其高阶修正项，而积分区域是所有满足特定条件的几何 \((M,g)\)。

  在经典极限下 \(\hbar\to0\)，利用 saddle-point 近似可知，满足 Einstein equation 的几何占主要贡献，就还原为我们熟知的时空的经典几何图像。 如果 \(\hbar\) 变得较大，所有几何对振荡积分 \(\exp{i\frac{ S}{\hbar}}\) 的贡献会变得同等重要，此时时空的经典几何图像就失效了。

问题 2

• 标度分析。半径应该正比于 \(\frac{\hbar^2}{e^2 k m}\)，基态能量应该正比于 \(-\frac{e^4 k^2 m}{\hbar^2}\)。

• 一些同学直接写下 \(rp\sim \hbar\)，这里可以进一步分析一下近似 \(r\sim \sigma_x, p\sim \sigma_p\) 的原因。

  对于任意测试波函数，有

  \[\begin{equation} \bra{\phi}H\ket{\phi} = \bra{\phi}\frac{p^{2}}{2m}-\frac{k e^{2}}{r}\ket{\phi} \geq E_{0} \, . \end{equation}\]

  基态波函数 \(\ket{\phi_{0}}\) 是球对称的，因此 \(\bra{\phi_{0}}{\vp}\ket{\phi_{0}}=0 \implies \sigma_{p}^{2}=\bra{\phi_{0}}p^{2}\ket{\phi_{0}}\)。我们需要的是对于类似于基态波函数的一类测试波函数，有

  \[\begin{equation} \bra{\phi_{0}}\frac{1}{r}\ket{\phi_{0}}\sim \frac{1}{\sigma_{r}}\sim \frac{\sigma_{p}}{\hbar} \, . \end{equation}\]

  在已知基态波函数的时候容易验证这是成立的。有兴趣的同学可以尝试如何建立类似的估计，或者直接构造一个好的测试波函数，进而得到 \(E_{0}\) 的上界。

  直观上，量子观测量是算子，而经典观测量类似于对角算子。尽管 \(\vev{f(\op)}_{\phi}\neq f(\vev{\op})_{\phi}\)，但在做这种半经典估计的时候，我们需要找到在什么物理条件下，对于特定的 \(\phi,\op,f\) 有类似的估计。