第四周作业讨论

问题 1.1

• 一些公式：

  \[\begin{align} & \bra{n}x^{2}\ket{n}=\frac{(2 n+1) \hbar }{2 m \omega } \, , \\ & \bra{n}p^{2}\ket{n}=\frac{1}{2} m (2 n+1) \omega \hbar \, . \end{align}\]

• 计算上的小技巧：

  • 要尝试利用湮灭算子 \(a\) 来杀掉一些项，因为 \(a\) 是上三角的；
  • 粒子数算子 \(N\) 定义了一个 grading，在计算矩阵元 \(\bra{m}\cdots\ket{n}\) 时只需要跟踪 grading 匹配的项。

问题 1.2

• 部分同学仅对 harmonic oscillator 验证了该等式。题目要求对任意的（束缚）势进行验证。

• 从坐标空间波函数出发，利用分部积分与 Schrodinger equation 捯饬一下即可。

  \[\begin{align} \rhs &= \intt{dx}\phi^{*}\phi x\pp V = -\intt{dx}\pp(\phi^{*}\phi x) V = -\intt{dx}\pp(\phi^{*}\phi) xV -\intt{dx}\phi^{*}\phi V \, . \end{align}\]

  对于第二项利用定态 Schrodinger equation \((K+V)\phi=E\phi\) 有

  \[\begin{equation} -\intt{dx}\phi^{*}V\phi =\intt{dx}\phi^{*}(K\phi)-E\intt{dx}\phi^{*}\phi =\bra{\phi}K\ket{\phi}-E \, . \end{equation}\]

  类似的，对于第一项有

  \[\begin{align} &\peq -\intt{dx}\pp(\phi^{*}\phi) xV \\ &= -\intt{dx}\pp\phi^{*}(V\phi) x -\intt{dx}(V\phi^{*})\pp\phi x \\ &= ( \intt{dx}\pp\phi^{*}(K\phi) x - E\intt{dx}\pp\phi^{*}\phi x )+ ( \intt{dx}\pp\phi(K\phi^{*}) x - E\intt{dx}\pp\phi\phi^{*} x ) \, . \end{align}\]

  其中第三行利用了定态 Schrodinger equation 以及其复共轭。接下来：

  • 第二与第四项组合出 \(\pp(\phi^{*}\phi)\)，分部积分消去 \(x\)，给出 \(E\)；
  • 第一与第三项由于 \(K=-\pp^{2}\) 组合出 \(\pp(\pp\phi^{*}\pp\phi)\)，分部积分消去 \(x\)，再利用分部积分将 \(\pp\phi^{*}\pp\phi\) 转化为 \(\phi^{*}K\phi\)。

• 部分同学尝试利用 Heisenberg equation，且误认为 \(\frac{d (xp)_{H}}{dt}=0\)。需要注意对不含时的 Hamiltonian，Heisenberg picture 下的算子为 \(\cO_{H}=e^{iHt}\cO e^{-iHt}\)，另一方面定态 \(\ket{\phi}\) 的时间演化是 trivial 的：\(e^{-iHt}\ket{\phi}=e^{-iEt}\ket{\phi}\) ，这样才能说明

  \[\begin{equation} 0=\bra{\phi}\frac{d(xp)_H}{dt}\ket{\phi}= \bra{\phi}i[H,(xp)_{H}]\ket{\phi} \, . \end{equation}\]

• 细心的同学可能注意到，这两种方法——分析 vs. 代数——有一点点微妙的不同。原因在于这里默认了出现的算子均为自伴算子，能保证这点的一个充分条件是对势能添加足够的条件，例如是足够好的束缚势。对于自伴算子，分部积分的边界项贡献为零。

问题 2

• 一些公式：

  \[\begin{align} & (w|z)=e^{w^{*}z} \, , \\ & \bra{z}x\ket{z}^{2}=\frac{\hbar \left(z^*+z\right)^2}{2 m \omega } \, , \\ & \bra{z}x^{2}\ket{z}=\frac{\hbar \left(2 z z^*+\left(z^*\right)^2+z^2+1\right)}{2 m \omega } \, , \\ & \bra{z}p\ket{z}^{2}=-\frac{1}{2} m \omega \hbar \left(z^*-z\right)^2 \, , \\ & \bra{z}p^{2}\ket{z}=-\frac{1}{2} m \omega \hbar \left(-2 z z^*+\left(z^*\right)^2+z^2-1\right) \, . \end{align}\]

• 在验证 coherent state 是湮灭算子的本征态时可以利用 BCH formula，

  \[\begin{equation} e^{t x}ye^{-t x}=y+[x,y]+\frac{1}{2!}[x,[x,y]]+\cdots \, , \end{equation}\]

  它可以视为 Lie algebra 到 formal Lie group 的指数映射。当右边的求和截断时，例如 nilpotent Lie algebra，该公式可以简化计算。 特别的，在本问题中我们有

  \[\begin{equation} e^{-a^{\dagger}}a e^{a^{\dagger}}=a+z\id \, , \implies a e^{a^{\dagger}} \vac=e^{a^{\dagger}}(a+z\id)\vac=z e^{a^{\dagger}} \vac \, . \end{equation}\]