第 9 周作业讨论

Convention: \(\hbar=1\).

问题 4.2

粒子数 \(N=1\) 的态为

\[\begin{equation} v= a_3 |0,0,1\rangle +a_2 |0,1,0\rangle +a_1 |1,0,0\rangle \, . \end{equation}\]

它们能量相同，因此构成了 \(\solie(3)\) 的一个 3 维表示。由

\[\begin{equation} L^{2}v=2v \end{equation}\]

可知这是一个 \(J=1\) 的不可约表示，所以只需要对角化 \(L_{z}\) 即可。若要想确定 \(L_{z}\) 三个本征态的相对系数，可利用 \(L_{\pm}\) 的矩阵元公式。

具体来说，我们可以先确定最低权态 \(v_{-1}\)，满足

\[\begin{equation} L_{z}v_{-1}=-v_{-1} \, , \quad \implies \quad a_2= -i a_1,\, a_3= 0 \, . \end{equation}\]

不妨取 \(a_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)，再利用

\[\begin{equation} v_{0}=\frac{1}{\sqrt{2}} L_{+}v_{-1} \, , \quad v_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} L_{+}v_{0} \, , \end{equation}\]

可得

\[\begin{align} &v_{1}=\frac{ -i |0,1,0\rangle -|1,0,0\rangle }{\sqrt{2}} \, , \\ &v_{0}=|0,0,1\rangle \, , \\ &v_{-1}=\frac{ -i |0,1,0\rangle +|1,0,0\rangle }{\sqrt{2}} \, . \end{align}\]

从坐标空间来看，在 Cartesian basis 下 \(\ket{i,j,k}\) 的波函数正比于三个 Hermite 多项式的乘积 \(H_{1}(x_{1})H_{2}(x_{2})H_{3}(x_{3})\)，而上述计算是将其重新组合为调和多项式。

问题 4.3

同理，粒子数 \(N=2q+J=2\) 的态为

\[\begin{equation} v=a_3 |0,0,2\rangle +a_6 |0,1,1\rangle +a_2 |0,2,0\rangle +a_5 |1,0,1\rangle +a_4 |1,1,0\rangle +a_1 |2,0,0\rangle \, . \end{equation}\]

利用角动量公式可知，它们能量相同但角动量不同，因此这是一个 \(6=1+5\) 维可约表示。在坐标空间，这对应于将二次多项式分解为 \(J=0\) 和 \(J=2\) 的调和多项式。

为了挑出平凡表示 \(J=0\) 的分量，利用

\[\begin{equation} L^{2}v=0 \, ,\quad \implies \quad a_1+a_2=2 a_3 \, , a_6=0 \, , a_1+a_3=2 a_2 \, , a_5=0 \, , a_4=0 \, , 2 a_1=a_2+a_3 \, . \end{equation}\]

归一化后可得

\[\begin{equation} v_{0}=\frac{ |0,0,2\rangle +|0,2,0\rangle +|2,0,0\rangle }{\sqrt{3}} \, . \end{equation}\]