0316 广义函数：分析与代数模型

在本习题课中会介绍一些广义函数/分布相关的知识。

主要参考书为 Gelfand 等人的《广义函数论》³⁴⁵⁶⁷⁸。这套成书于 60 年代的讲义蕴含了 Gelfand school 诸多丰富的思想。例如第一卷对于广义函数正规化的讨论启发了 Bernstein 建立 D-module 理论，第五卷对 \(\slgroup(2,\CC|\RR)\) 的表示论的讨论导向了 BGG category 与对称空间上的调和分析两个方向。

大纲：

广义函数基础
- 基本想法与性质
- 齐次广义函数
- 常见的广义函数空间
广义函数的正规化与重整化
- 广义函数族的解析性
- 齐次广义函数的正规化
- Bernstein-Sato polynomial
流形上的广义函数与微分形式
Rigged Hilbert space
- Direct integral: Hilbert spaces parametrized by measure space
- Fourier transform and the regular representation of \(\RR\)

态与观测量

在物理中，态与观测量是一对对偶的概念，而广义函数自然的蕴藏其中。

观测作为仪器对态的卷积

考虑望远镜、手机摄像头之类的光学观测系统，输入为信号 \(\rho(x)\)，输出为光强等实数，这定义了一个泛函

\[\begin{equation} \phi:V\to \RR \, , \end{equation}\]

其中 \(V\) 为信号构成的函数空间。例如滤波器，另一类仪器的输出为信号 \(\rho_{2}(x) \in V_{2}\)，这定义了一个算子

\[\begin{equation} \cO:V \to V_{2} \, . \end{equation}\]

通常在信号较弱时，\(\phi\, ,\cO\) 可以近似为线性的，称为线性仪器，例如常见的水银温度计。

每一个元件只接收与反馈特定频率范围内的信号，因此在线性近似下，光强或新信号在动量空间可写为

\[\begin{equation} \phi(\rho)=\intt{d p} \phi(p) \rho(p) \, , \quad \rho_{2}(p_{2})=\intt{d p_{1}} \cO(p_{1},p_{2}) \rho(p_{1}) \, , \end{equation}\]

其中 \(\phi(p)\) 与 \(\cO(p_{1},p_{2})\) 描述了仪器对特定频率的响应与反馈。经过 Fourier 变换后，在坐标空间即为卷积。

现实中的仪器总有一定的展宽，输出的数据或信号总是对真实的物理态的近似描述。这时 \(\phi(p)\) 与 \(\cO(p_{1},p_{2})\) 通常是紧支撑的有一定光滑性的可积函数。

对于 \(\rho_{2}=\rho\) 的完美仪器，\(\cO(p_{1},p_{2})\) 该如何定义？

\[\begin{equation} \cO(p_{1},p_{2}) \to \delta(p_{1}-p_{2}) \, . \end{equation}\]

经典力学

纯态由坐标和动量 \((x,p)\) 所标记，其集合构成了相空间流形 \(\Gamma\)，动力学由相空间上的 Hamiltonian flow 决定。观测量为 \(\Gamma\) 上的函数 \(\cO(x,p)\)。

混态 \(\rho(x,p)\) 描述了一族纯态的概率分布，满足归一化条件

\[\begin{equation} \inttt{dxdp}{\Gamma}\rho(x,p)=1 \, , \end{equation}\]

测量值为

\[\begin{equation} \label{eq: classical observable} \cO(\rho)=\inttt{dxdp}{\Gamma}\cO(x,p)\rho(x,p) \, . \end{equation}\]

纯态 \((x_{0},p_{0})\) 作为混态的特例

\[\begin{equation} \rho(x,p) \to \delta(x-x_{0})\delta(p-p_{0}) \, . \end{equation}\]

量子力学

不妨 \(\dim\HH<\oo\)，纯态 \(\ket{f}\in \HH\) 可提升为 \(\HH\) 上的算子

\[\begin{equation} \ket{f}\bra{f} : \ket{g}\mapsto \ket{f}\braket{f}{g} \, , \end{equation}\]

而混态作为纯态的凸组合，可定义为

\[\begin{equation} \rho =\sum_{i}\rho_{i}\ket{i}\bra{i} \, , \end{equation}\]

观测量 \(\cO\in \cL(\HH)\) 下的期望值为

\[\begin{equation} \Tr \cO \rho = \sum_{i} \rho_{i} \brakets{i}{\cO}{i} \, , \end{equation}\]

这是 \eqref{eq: classical observable} 的非交换推广。

虽然对于可分 Hilbert space \(\HH\)，我们总可以引入一组可数基进行具体计算。但这个同构 \(\HH\simeq \ell^{2}\) 并不是自然的。

对于束缚态体系，例如谐振子，\(\HH=L^{2}(\RR)\) 的完备基可选为 \(H=-\pp^{2}+x^{2}\) 的本征态（这里我们需要无界算子的谱定理）。但对于散射态体系，例如自由粒子，\(H=-\pp^{2}\) 具有连续谱，且对应的本征函数——平面波并不在 \(\HH=L^{2}(\RR)\) 中。对于后者，虽然可以强行采用谐振子的本征态作为自由粒子体系的完备基，但它们并不适用于讨论散射问题，且不遵从该体系的对称性。

一个更极端的例子是，描述我们现实世界的标准模型，真空态“附近”的激发态依然处于某个抽象的可分 Hilbert space 中（对于有质量粒子，忽略相互作用，这一空间可被具体实现为 Fock space）。这意味着“万事万物等距同构于一个谐振子”，这个荒谬性的来源同上。

对于特定的问题，我们需要选择与之适配的空间与基底，来显现特定的性质。

这同样导致了，我们需要将 Hilbert space 嵌入到某个更大的空间中，来容纳动量与坐标本征态。

Remark

Gelfand 等人的一个想法是将态与观测量的地位调换过来。“真实物理态”是一个不可被精确测量的、先验的概念，在操作中，我们总是用不同的观测量来区分不同的态，进而刻画一个特定的态。在逻辑框架上，Gelfand 等人将其实现为：对于特定系统，先引入所有观测量组成的算子代数 \(\cA\)，而态被定义为 \(\cA\) 上的正定线性泛函。

态与观测量的关系自然的告诉我们如何做扩张：只有配对

\[\begin{equation} \braket{\phi}{f}=\int{dx} \phi^{*}(x) f(x) \end{equation}\]

或矩阵元

\[\begin{equation} \brakets{f}{\cO}{g}=\int{dxdy} f^{*}(x) \cO(x,y) g(y) \end{equation}\]

才是我们读到的数据，是我们唯一能接触到的物理真实，而非抽象的观测量（仪器）与态。我们所能认知到的物理现象关于时间和参数的连续性，均是这种弱连续性。

那么对于配对 \(\braket{\phi}{f}\)，指定 \(f\) 需满足的性质，即其所在的函数空间，即可自然的定义其连续对偶 \(\phi\) 所在的函数空间。特别的，回忆到 Hilbert space 是自对偶的。当我们对 \(f\) 施加足够强的条件后，与通常函数相比 \(\phi\) 的性质“更差”，称为广义函数，而 \(f\) 作为探测广义函数的存在，称为测试函数。

三类常用的测试函数：

紧支撑光滑函数
解析函数
速降光滑函数 \(\cS\)，其任意阶导数在无穷远的衰减比任意阶多项式都快（例如 Gauss 波包）

\[\begin{equation} \set{f\in C^{\oo}(\RR)\given \norm{f}_{a,b}<\oo\, , \forall a,b>0} \, , \end{equation}\]

where

\[\begin{equation} \norm{f}_{a,b}\eqqq \sup_{x\in\RR}|x^{a}\pp^{b}f|<\oo \, . \end{equation}\]

这时我们需要推广 Banach space，用一可数族半范数来区分不同的函数，进而定义拓扑。对偶称为缓增分布 \(\cS^{\dual}\)。这是物理问题中常用的一类广义函数。原因在于 Fourier 变换交换乘法算子与导数算子，可以期待保持速降函数与缓增分布。

Dirac 广义函数

支撑在 \(x_{0}\in\RR\) 的 Dirac 广义函数被定义为

\[\begin{equation} \delta_{x_{0}}(f)\eqqq f(x_{0}) \, , \end{equation}\]

显然这不是 \(L^{2}(\RR)\) 上的连续线性泛函。

为了概念直观与运算方便，通常形式上写为函数

\[\begin{equation} \delta_{x_{0}}(f)=\intt{dx}\delta(x_{0}-x)f(x) \, . \end{equation}\]

特别的，支撑在原点的 Dirac 函数为齐次偶函数

\[\begin{equation} \delta(f)=f(0) \, , \quad \implies \quad \delta(x)=\delta(-x) \, , \quad \delta(a x) =\frac{1}{a}\delta(x) \, , \textInMath{for} a>0 \, . \end{equation}\]

Lazy evaluation

“需要计算再去计算”，或者说“形式表达式”，是一种常见的处理扩张问题的想法。例如：考虑 \(\QQ(\sqrt{2})\) 中的数值计算，在最开始带入 \(\sqrt{2}\) 的数值进行计算会损失精度，更好的是在 \(\QQ(x)\) 中计算，最后再投影到 \(\QQ(\sqrt{2})\) 中。

Gelfand 等在开篇写到 ³：

我们注意到，在解决具体的数学物理问题时，Dirac 广义函数等其它“奇异函数”只出现在中间过程中。在计算的最后，奇异函数要么完全消失，要么只出现在积分中，与另一个性质足够好的函数相乘。因此，没有必要直接回答奇异函数自身是什么。我们只需回答奇异函数和性质足够好的函数乘积的积分是什么。例如，我们不必回答什么是 Dirac 广义函数，而只需指出对于性质足够好的函数，下面的等式成立即可：

\[\begin{equation*} \intt{dx}\delta(x-x_{0})f(x)=f(x_{0}) \, . \end{equation*}\]

换句话说，我们把奇异函数等同于泛函：该奇异函数和每一个性质足够好的函数对应着某一个完全确定的数值。这样，我们就不必再多考虑奇异函数这个概念。我们可以把奇异函数与能够具体讨论的泛函等同起来，这将成为奇异函数完全充分的定义。显然，通常的可积函数也可以列入这个定义的范围。即对于每一个可积函数，我们能够回答其与性质足够好的函数的乘积的积分等于多少。因此，作为泛函来处理的广义函数概念既包括奇异函数，又包括通常的可积函数。

导数

另一种不引入广义函数的理解方式是定义其为单点测度，即广义函数的原始意义——作为质量、电荷等广延量的分布，抽象了点粒子的概念。这种方法在概念上不容易处理偶极子：一对无限接近的无限大异号电荷

\[\begin{equation} \lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{2\epsilon}(\delta(x+\epsilon)-\delta(x-\epsilon)) =? \end{equation}\]

先跳过分析细节，采用速降光滑函数或紧支撑光滑函数的好处之一在于，我们可以利用分布积分把对测试函数的导数转移到广义函数上面

\[\begin{equation} (\phi',f)\eqqq -(\phi,f') \, , \end{equation}\]

因此可自然的定义

\[\begin{equation} \label{eq: Dirac derivative} \delta^{(n)}(f)=(-1)^{n}f^{(n)}(0) \, . \end{equation}\]

其奇偶性和齐次性为

\[\begin{align} & \delta^{(n)}(-x)=(-1)^{n}\delta^{(n)}(x) \, , \quad \delta^{(n)}(a x)=\frac{1}{a^{n+1}}\delta^{(n)}(x) \, , \textInMath{for} a>0 \, . \end{align}\]

标量乘法

此外标量乘法也是显然的

\[\begin{equation} (a(x)\phi,f)\eqqq (\phi,a(x)f(x)) \, , \end{equation}\]

对于 Dirac 函数，有

\[\begin{equation} \label{eq: Dirac scalar multiplication} x \delta^{(n)}(x)=-n \delta^{(n-1)}(x) \, , \end{equation}\]

特别的

\[\begin{equation} x^{n+1} \delta^{(n)}(x)=0 \, . \end{equation}\]

Proof

\[\begin{align} \intt{dx} x \delta^{(n)}(x)f(x) &= (-1)^{n} \intt{dx} \delta(x)\pp^{n}\left(x f(x)\right) \\ &= (-1)^{n} \intt{dx} \delta(x)(x\pp^{n}f(x)+n \pp^{n-1}f(x)) \\ &= -n \delta^{(n-1)}(f) \, . \end{align}\]

具体实现

The Dirac \(\delta\)-function admits the following approximations

\[\begin{align} & \delta(x) = \lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}}e^{-x^2/2\epsilon} \, , \\ & \delta(x) = \lim_{p\to \oo}\frac{1}{\pi}\frac{\sin p x}{x} = \intt{\frac{dp}{2\pi}}e^{ipx} \, , \\ & \delta(x) = \lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2} = \lim_{\epsilon\to 0}-\frac{1}{\pi}\Im \frac{1}{x+i\epsilon} \, , \\ & \delta(x) = \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\gm{\epsilon}} x_{+}^{-1+\epsilon} = \lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\gm{\epsilon}} |x|^{-1+2\epsilon} \, , \end{align}\]

where \(\epsilon>0\). The meaning is that:

saddle point approximation
cancellation of between positive and negative contributions except singularities
boundary value of analytic function
regularization of an analytic family of distributions

乘法定义的困难

广义函数之间的乘法通常是有问题的。配对 \((\phi,f)\) 就像跷跷板，奇异性只能放在一边。¹

例如

\[\begin{equation} x^{-1}(x\delta(x))=0 \, , \textInMath{but} (x^{-1}x)\delta(x)=\delta(x) \, . \end{equation}\]

\[\begin{equation} \theta^{n}(x)=\theta(x) \, , \overset{?}{\implies} n \theta(x) \delta(x)=\delta(x) \, . \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta^{2}(x)=? \end{equation}\]

As module of Weyl algebra

因此如果不添加额外的结构，\(\delta\) 函数应该被视为模而非代数中的元素。上述对导数和标量乘法的讨论可做如下的抽象。

首先引入 \(\CC\) 上单变量的 Weyl 代数 \(A\)。考虑作用在 \(\CC[x]\) 上的乘法和导数算子 \(x,\pp\in\End \CC[x]\)

\[\begin{equation} \label{eq: x and p} x: f\mapsto x f \, , \quad \pp: f\mapsto \pp f \, , \quad \textInMath{for} f \in \CC[x] \, , \end{equation}\]

满足对易关系

\[\begin{equation} [\pp,x]=1 \, . \end{equation}\]

Weyl 代数 \(A\subset \End \CC[x]\) 为这两个算子最小生成的非交换代数，乘法为算子复合，利用对易关系，基底可选为单项式集合

\[\begin{equation} \set{x^{a}\pp^{b}\given a\in\NN,b\in\NN} \, . \end{equation}\]

引入 Weyl 代数后，\eqref{eq: x and p} 可被重新翻译为：多项式环 \(\CC[x]\) 是 \(A\) 的模。由于求导总可以得到常数，容易验证为不可约模。

重新审视 Dirac 函数的导数与标量乘法，可以发现 \(\CC\linearspan{\delta^{(n)}\given n\geq 0}\) 构成了 Weyl 代数的模，式 \eqref{eq: Dirac derivative} 和 \eqref{eq: Dirac scalar multiplication} 定义了具体作用。

特别的，重写 \eqref{eq: Dirac scalar multiplication} 为

\[\begin{equation} \frac{(-1)^{n}}{n!}\delta^{(n)} = x^{-1}\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\delta^{(n-1)} \end{equation}\]

我们可以建立这个模与 \(\CC[x,x^{-1}]/\CC[x]\) 的同构

\[\begin{equation} \frac{(-1)^{n}}{n!}\delta^{(n)} \mapsto x^{-n-1} \, , \end{equation}\]

例如

\[\begin{align} & x(x^{-1})=0 \mod \CC[x] \, , \\ & x(x^{-n}) = x^{-n-1} \textInMath{for} n\geq 2 \, , \\ &\pp(x^{-n}) = -n x^{n+1} \, . \end{align}\]

其它例子

Example: principal value

The principal values of \(x^{-1}\) and \(x^{-2}\) are

\[\begin{align} & (x^{-1},f(x)) \eqqq(|x|^{-1}\sign(x),f(x))=\intrange{dx}{0}{\oo}\frac{f(x)-f(-x)}{x} \, , \\ & (x^{-2},f(x)) \eqqq(|x|^{-2},f(x))=\intrange{dx}{0}{\oo}\frac{f(x)+f(-x)-2f(0)}{x^2} \, . \end{align}\]

Notice that although \(x^{-2}\) as a function is positive-definite, as a distribution it is not.

Nonpositivity

\[\begin{equation} (x^{-2},\frac{1}{1+x^2})=-\pi<0 \, . \end{equation}\]

f[x_]:=1/(1+x^2);

Integrate[f[x],{x,-∞,∞}]

Integrate[(f[x]+f[-x]-2f[0])/x^2,{x,0,∞}]

Out[] = π

Out[] = -π

Example: Hilbert transform

The regularization of \(\phi(x)=\frac{1}{x-y}\) can be chosen as

\[\begin{equation} \label{eq: Hilbert transform} \intt{dx}\frac{f(x)}{x-y}\eqqq\lim_{\epsilon\to 0}\inttt{dx}{|x-y|>\epsilon}\frac{f(x)}{x-y} \, . \end{equation}\]

This regularized distribution defines the Hilbert transform - a unitary operator on \(L^2(\RR)\) ² with two eigenspaces

\[\begin{equation} \label{eq: Hardy spaces} L^2(\RR)=H^{2}_{+}(\RR)\oplus H^{2}_{-}(\RR) \, , \end{equation}\]

called the Hardy spaces. It is also identified as a specific Knapp-Stein intertwining operator of \(\slgroup(2,\RR)\). Consequently the ramified principal series representation at the end-point is reducible, with the decomposition \eqref{eq: Hardy spaces}.

However, with effort it is still possible to define an algebra of generalized functions. ↩
\(L^2(\RR)\) is canonically embedded into \(\cS'(\RR)\), as an example of rigged Hilbert space \(\cS(\RR)\subset L^2(\RR)\subset \cS'(\RR)\). ↩
I.M. Gelfand and G.E. Shilov. Generalized Functions, Volume 1: Properties and Operations. Elsevier Science, 2014. ISBN 9781483261591. URL: https://books.google.com/books?id=dgnjBQAAQBAJ. ↩↩
I.M. Gelfand and G.E. Shilov. Generalized Functions, Volume 2: Spaces of Fundamental and Generalized Functions. Elsevier Science, 2013. ISBN 9781483262307. URL: https://books.google.com/books?id=iMo3BQAAQBAJ. ↩
I.M. Gelfand and G.E. Shilov. Generalized Functions, Volume 3: Theory of Differential Equations. Academic Press, 1964. URL: https://books.google.com/books?id=NNQdAQAAMAAJ. ↩
I.M. Gelfand and N.Y. Vilenkin. Generalized Functions Volume 4: Applications of Harmonic Analysis. Academic Press, 1964. ISBN 9780122795046. URL: https://books.google.com/books?id=sRXVXwAACAAJ. ↩
I.M. Gelfand, M.I. Graev, and N.Y. Vilenkin. Generalized Functions, Volume 5: Integral Geometry and Representation Theory. Academic Press, 2014. ISBN 9781483262253. URL: https://books.google.com/books?id=VqjiBQAAQBAJ. ↩
I.M. Gelfand, M.I. Graev, and I.I. Pyatetskii-Shapiro. Generalized Functions, Volume 6. American Mathematical Society, 2016. ISBN 9781470426644. URL: https://books.google.com/books?id=3hIBDAAAQBAJ. ↩