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0330

代数定义

在上周我们介绍了（光滑）流形的几何定义：坐标卡与图册，这里我们介绍与它对偶的代数定义，可见例如 Wells 的 Differential Analysis on Complex Manifolds。

推前与拉回：对于映射 \(\phi:U\to U'\)，\(U\) 中的“物体”/子对象总可以被推前

\[\begin{equation} \phi_{*}: c:\RR\to U \mapsto \phi\cdot c:\RR\to U\to U' \, , \end{equation}\]

而 \(U\) 上的“量”/函数总可以被拉回

\[\begin{equation} \phi^{*}:f:U'\to \RR \mapsto f\cdot \phi: U\to U'\to \RR \, . \end{equation}\]

例如切映射即是把曲线的推前映射下降到曲线的等价类——切矢量上。

Definition

对于拓扑流形 \(M\) （第二可数的 Hausdorff 拓扑空间，且局部同胚于 \(\RR^{n}\) ），称满足下述条件的一族定义在 \(M\) 的开集上的函数的集合 \(\cO_M\) 为 \(M\) 上的一个光滑结构：

  • 对于每一点 \(p\)，存在开邻域 \(U\) 以及到 \(\RR^{n}\) 的同胚 \(\phi:U\to \phi(U)\subset \RR^{n}\)，使得，对于任意的开子集 \(V\subset U\)，\(V\) 上的函数 \(f\in \cO_M\) 当且仅当其推前 \(f\cdot\phi^{-1}\) 在 \(\phi(V)\) 上是光滑的。

  • 对于 \(U\) 上的函数 \(f\) 以及开覆盖 \(U=\bigcup U_{i}\)，\(f\in \cO_M\) 当且仅当 \(f|_{U_{i}}\in \cO_M\)。

此时，\((M,\cO_M)\) 称为 \(M\) 上的一个光滑结构，\(\cO_M\) 称为 \(M\) 上的（局部定义的）光滑函数。

Definition

对于连续映射 \(\phi:M\to N\)，如果

\[\begin{equation} f\in \cO_N \implies \phi^{*}f\in \cO_M \, , \end{equation}\]

那么称 \(\phi:(M,\cO_M)\to (N,\cO_N)\) 是光滑的。

类似的可定义光滑微分同胚。

Remark

退回几何定义：为了验证坐标卡之间的转移映射是光滑的，我们仅需对 \(\RR^{n}\) 中的开集间的映射 \(\phi:U\to U'\) 验证：

\[\begin{equation} \phi \textInMath{is smooth} \Leftrightarrow f\in C^{\oo}(V) \implies \phi^{*}f \in C^{\oo}(U) \, , \end{equation}\]

从左到右是因为光滑函数的复合是光滑的，从右到左只需要选取 \(f\) 为坐标函数即可。

从几何定义构造 \(\cO_M\)：对于图册中的每个开集，考虑其上的所有光滑函数构成的集合。

把局部模型——光滑函数替换为实或复解析函数，即得到实或复解析流形的定义。

对于光滑的情况，由于定义在开集上的光滑函数总可以扩张到整个 \(M\) 上，因此考虑 \(C^{\oo}(M)\) 即可。对于解析情况，由于 Liouville 定理，必须考虑局部定义的全纯函数。

Supermanifold

如果没有“点”的概念，该如何用函数定位一个“点”呢？

仅有函数的加法是不够的，还需要乘法，因此构成了一个代数：

  • 点对应于以该点为零点的函数的集合，后者构成了作为代数的 \(C^{\oo}(M)\) 中的理想；

  • 函数 \(f\) 在 \(p\) 处的取值 \(f_p\)，对应于 \(f-f_p\) 在 \(p\) 的任意开邻域上作为代数中的元素不可逆。

超 Euclidean 空间 \(\RR^{p|q}\) 定义为以 \(x^{1},\dots,x^{p},\theta^{1},\dots,\theta^{q}\) 为坐标函数的线性空间，且满足乘法

\[\begin{equation} \theta^{i}\theta^{j}+\theta^{j}\theta^{i}=0 \, . \end{equation}\]

换句话说，其光滑函数空间为 \(C^{\oo}(\RR^{p})\xx \Alt \RR^{q}\)，称为 Grassmann（代）数，上面可以定义导数与积分：

\[\begin{equation} \pp_{\theta}(a+b\theta)\eqq b \, , \quad \int (a+ b \theta )d\theta\eqq b \, . \end{equation}\]

以该代数为局部模型，则得到超流形 \(M\)。模掉非交换的部分，得到其玻色部分 \(|M|\)。

超流形实际上总是（非典范的）同构于某个形如 \(\Alt E^{*}\) 的丛，其中 \(E\to |M|\) 为矢量丛。

表示论观点

一个粗略的图像：

集合 \(M\) 上的置换群 \(S(M)\) 没有携带 \(M\) 上的拓扑与微分结构，应考虑（带特定拓扑的）微分同胚群 \(\Diff(M)\)，see e.g. Hatcher's article。

例如 \(\Diff(S^{1})\) 的同伦类为 \(\ogroup(2)\)，李代数为 Witt 代数，其中心扩张称为 Virasoro 代数。

群 \(G\) 在 \(M\) 上的作用：群同态 \(G\to S(M)\)。光滑版本：李群 \(G\to\Diff(M)\)。

点 \(p\) （更进一步的，子对象）对应于稳定子群 \(\Diff_{p}(M)\)。参考 Erlangen program。

光滑函数空间 \(C^{\oo}(M)\) 为 \(\Diff(M)\) 的表示，正如置换群 \(S(M)\) 作用在 \(M\) 上的任意函数 \(\RR^{M}\) 上。进而其它丛截面也构成了表示。进而作用在其子表示上，例如平坦联络。

考虑 \(I_p(M)\) 为在点 \(p\) 消失的函数构成的理想，进而定义 \(I_p^{n}(M)\)。例如 \(I_p/I^{2}_p\) 定义了余切矢量。\(\Diff^{n}_p(M)\) 为在 \(I_p/I^{n}_p\) 上平凡作用的微分同胚构成的群。有 \(\Diff_p(M)/\Diff^{2}_p(M)\simeq \glgroup(n,\RR)\)，其各种张量表示即为 \(p\) 点的张量，行列式表示给出张量密度。例如 Riemann tensor 的 Ricci 分解。

矢量场的集合 \(\Gamma(TM)\) 为 \(\Diff(M)\) 的李代数。其 UEA 为高阶微分算子。其在各种丛截面上的作用为李导数。特别的，矢量场的对易子为伴随表示。

保持额外结构，例如度规，得到等距变换群，等等。