Spinor helicity formalism
\(\newcommand{\dota}{\dot{a}} \newcommand{\dotb}{\dot{b}} \newcommand{\dotc}{\dot{c}} \newcommand{\sigmab}{\bar{\sigma}} \newcommand{\epsilonb}{\bar{\epsilon}} \newcommand{\inout}[1]{e_{#1}}\)
Conventions
本文旨在梳理旋量螺旋度方法 (spinor helicity formalism) 中的约定,主要遵循 1 2。
- 尽管对于物理观测量而言,约定的选择是一种“规范”,但它会沿着计算过程传播。从编程视角看,这是一种非局域效应,应当被封装在独立的模块中。
-
任意动量记为 \(P\),有质量的记为 \(p\),无质量的记为 \(q\)。无质量动量的参数化为
\[\begin{equation*} q=\omega( 1+z \bar{z},z+\bar{z},-i (z-\bar{z}),1-z \bar{z} ) \, , \textInMath{for} \omega>0,z\in\CC \, . \end{equation*}\]
Metric
度规号差记为
若要变更度规号差,需要翻转 \(g_{\mu\nu}, g^{\mu\nu}\) 以及相关物理量的符号,例如带下指标的动量 \(P_{\mu}\) 与带上指标的导数 \(\pp^{\mu}\)。
采用度规 \((-,+,+,+)\) 的文献示例如下:
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Wess & Bagger 1 Supersymmetry and Supergravity
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Srednicki 3 Quantum Field Theory
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Elvang & Huang 4 Scattering Amplitudes in Gauge Theory and Gravity
采用度规 \((+,-,-,-)\) 的文献示例如下:
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SAGEX 2 The SAGEX Review on Scattering Amplitudes Chapter 1
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Schwartz 5 Quantum Field Theory and the Standard Model
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Badger et al. 6 Scattering Amplitudes in Quantum Field Theory
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Dixon 7 A brief introduction to modern amplitude methods
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Taylor 8 A Course in Amplitudes
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Cheung 9 TASI lectures on scattering amplitudes
Pauli matrices
Pauli 矩阵的定义是约定差异的主要来源之一,有如下两种:
不同文献的选择示例如下:
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Wess & Bagger 1 采用了前者,见 1 Appendix A & B。与之适配的旋量缩并为
\[\begin{equation*} \psi\chi=\psi^{a}\chi_{a} \, , \quad \psib\chib=\psib_{\dota}\chib^{\dota} \, . \end{equation*}\] -
SAGEX 2 与 Dixon 7 采用了前者。尖旋量 \(\ketA{q}_{a}\) 的指标为不带点的,旋量缩并与 Wess & Bagger 相同,见 2 Appendix A 与 7 Equation 3.6。
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Srednicki 3 与 Elvang & Huang 4 采用了后者。尖旋量 \(\braA{q}_{\dota}\) 的指标为带点的,旋量缩并与 Wess & Bagger 相同,见 3 Section 35 与 4 Appendix A。
-
Schwartz 5 采用了后者。尖旋量 \(\ketA{q}_{a}\) 的指标为不带点的,旋量缩并与 Wess & Bagger 相反,见 5 Section 10.6.2。
尽管存在这些差异,通常会保证旋量内积 \(\braketA{q_{1}q_{2}}\sim z_{1}-z_{2}\) 是全纯的。
此外,在 twistor 理论的相关文献中,Pauli 矩阵往往带有归一化因子 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)。
Spinor inner product
旋量内积是另一类正负号差异的来源:其一是等变映射 \(\varepsilon^{ab}, \varepsilon^{\dota\dotb}\) 的分量的选取,其二是旋量内积与自然配对的相对符号 \(\braketA{q_{1}q_{2}}= \pm\braA{q_{1}}^{a}\ketA{q_{2}}_{a}\)。
需注意的差异是 Mandelstam 变量与旋量内积的关系
在粒子物理领域的相关文献中,多数为负号。
Incoming/Outgoing
出入态的转换对应于能量的解析研拓 \(\omega\to -\omega\)。通常有两种约定:例如文献 2 3 6 把负号分配到两种旋量中,
此时有 \(\ketA{-(-q)}=-\ketA{q}\)。而例如文献 4 把负号吸收到尖旋量中,
此时有 \(\ketA{-(-q)}=\ketA{q}\)。
Polarization
Lacia-TimeStamp-2025-06-24-07:07:04
-
极化矢量的归一化为
\[\begin{equation*} \epsilon_{+}\cdot\epsilon_{-}=2\signature\polar^{2} \, . \end{equation*}\] -
极化矢量的类型
Basic ingredients
Helicity spinor
螺旋度旋量 (helicity spinor) 是一类特殊的玻色型 Weyl 旋量,它解开了无质量 Weyl 方程的约束。
Angle spinor
与复化的无质量动量 \(q\in\CC^{4}\) 相关联的旋量称为尖右矢 (angle ket) \(\ketA{q}_{a}\),它处于 \(\slgroup(2,\CC)\) 的基本表示 \((\half,0)\) 中。而处于对偶表示 \((\half,0)^{\dual}\) 中的称为尖左矢 (angle bra) \(\braA{q}^{a}\)。两者的变换关系为
其自然配对称为尖括号 (angle braket),
两者实际上是同构的,
其中 \(\varepsilon\) 为可逆等变映射,分量可取为
等价的,\(\varepsilon\) 诱导了 \((\half,0)\) 或 \((\half,0)^{\dual}\) 上的反对称不变内积。
Square spinor
将前述讨论应用于复共轭表示 \((0,\half)\) 及其对偶表示 \((0,\half)^{\dual}\),方左矢 (square bra) 和方右矢 (square ket) 的变换关系为
两者的自然配对记为方括号 (square braket),
采用与复共轭交换的等变映射,
可得指标的升降关系:
Momentum bispinor
在群同态 \(\sugroup(2)\to \sogroup(3,\RR)\) 下,Pauli 矩阵 \(\vec\sigma\) 是从 \(\sugroup(2)\) 的表示 \(1\in \half\ox\half\) 到 \(\sogroup(3,\RR)\) 的矢量表示的可逆等变映射。通常选为
类似的,在群同态 \(\slgroup(2,\CC) \to \sogroup(3,1,\RR)\) 下,四分量 Pauli 矩阵 \(\sigma\) 是从 \(\slgroup(2,\CC)\) 的表示 \((\half,\half)\) 到 \(\sogroup(3,1,\RR)\) 的复矢量表示 \(V\simeq \CC^{4}\) 的可逆等变映射,可选为
在此同构下,\(V\) 上的不变内积 \(g_{\mu\nu}\) 对应为 \((\half,\half)\) 上的 \(\epsilon_{ab}\epsilon_{\dota\dotb}\),有
矢量 \(P^{\mu}\) 可以被重写为双旋量 (bispinor)
且 \(\det P = - \signature P^{2}\)。
对于无质量动量 \(q^{2}=0\),该双旋量因子化为两个螺旋度旋量
它们分别满足无质量 Weyl 方程
Real momentum
对于复的无质量动量 \(q\),尖旋量和方旋量是独立的。方程 \eqref{eq: helicity spinor} 的左边维数为 \(\dim_{\CC}=3\),而右边维数为 \(\dim_{\CC}=4\),不匹配的原因是因子化可以相差一个标度变换
这正是复化的小群变换,通常称为小群标度变换 (little group rescaling)。
对于实动量,尖旋量和方旋量互为复共轭。此时方程 \eqref{eq: helicity spinor} 的左边维数为 \(\dim_{\RR}=3\),右边维数为 \(\dim_{\RR}=4\)。 小群标度变换为 \(\sogroup(2,\RR)\) 的相位变换。 此外,我们还需要区分 \(q^{0}<0\) 的入态和 \(q^{0}>0\) 的出态 \((+)\),用 \(\inout{q}\) 表示出入态的符号
对于出入态和复共轭,我们采用如下约定:
因此对于旋量内积有
\eqref{eq: incoming}, \eqref{eq: conjugate}
Since the intertwiner \(\varepsilon\) commutes with complex conjugate, we only need to consider \(\ketA{q}\) and \(\braS{q}\),
and from \eqref{eq: helicity spinor} we have
Continuing \(q\) to \(-q\), there is only one minus sign in \eqref{eq: helicity spinor}, so we need to absorb it either in both of \(\ketA{q}\) and \(\braS{q}\) or in one of them. Starting from the ansatz
and then by the compatibility of complex conjugate, we have
which implies
Furthermore, to make the angle/square brakets balanced
a natural choice of \(\alpha(q)\) would be
Then from \(\abs{\beta(q)}=1\) we can choose
Polarization
Lacia-TimeStamp-2025-05-10-04:25:04
Useful properties
对于无质量动量,\(q\) 通常会被省略,例如
Pauli/Dirac 矩阵与动量旋量的缩并指标也会被省略,例如
Property
Mandelstam 变量:
双旋量缩并:
Fierz 恒等式:
Little group scaling
在小群标度变换下,各对象的权为
Object | Weight |
---|---|
angle bra/ket | \(-1\) |
square bra/ket | \(1\) |
wavefunction with helicity \(J\) | \(2J\) |
amplitude with helicities \(J_i\) | \(2J_i\) |
Lacia-TimeStamp-2025-06-24-10:11:13
Component
无质量动量 \(q\) 可以用能量 \(E\) 和角坐标 \((\theta,\phi)\) 参数化为
在天穹 CFT 领域的相关文献中,更常用的是
两者的关系由球极投影给出:
其中北极被映射到原点。
螺旋度旋量为
相应的,旋量内积为
Lacia-TimeStamp-2025-06-24-11:13:12
Verification test
Directory: ~/TestSource/SpinorHelicity/
Test | Equation(s) |
---|---|
bispinor-contraction.wlt |
\eqref{eq: bispinor contraction} |
bispinor.wlt |
\eqref{eq: momentum bispinor} \eqref{eq: helicity spinor} |
epsilon-tensor.wlt |
\eqref{eq: raising lowering A} \eqref{eq: varepsilon tensor A} \eqref{eq: varepsilon tensor S} \eqref{eq: raising lowering S} |
Fierz-identity.wlt |
\eqref{eq Fierz identity} |
incoming-outgoing.wlt |
\eqref{eq: incoming} |
momentum-squared.wlt |
\eqref{eq: momentum squared} |
Pauli-Dirac-matrix.wlt |
\eqref{eq: Pauli matrix} \eqref{eq: Pauli matrix and epsilon tensor} |
spinor-component-2-vs-4.wlt |
|
spinor-component.wlt |
\eqref{eq: bra ket parametrization} \eqref{eq: braket parametrization} |
spinor-conjugate.wlt |
\eqref{eq: conjugate} \eqref{eq: conjugate braket} |
spinor-pairing.wlt |
\eqref{eq: pairing A} \eqref{eq: pairing S} |
Weyl-equation.wlt |
\eqref{eq: Weyl equation} |
-
J. Wess and J.A. Bagger. Supersymmetry and Supergravity. Princeton University Press, 2020. ISBN 9780691212937. URL: https://books.google.com/books?id=VufaDwAAQBAJ. ↩↩↩↩
-
Andreas Brandhuber, Jan Plefka, and Gabriele Travaglini. The SAGEX Review on Scattering Amplitudes Chapter 1: Modern Fundamentals of Amplitudes. J. Phys. A, 55(44):443002, 2022. arXiv:2203.13012, doi:10.1088/1751-8121/ac8254. ↩↩↩↩↩
-
Mark Srednicki. Quantum Field Theory. Cambridge University Press, 2007. ISBN 9781139462761. URL: https://books.google.com/books?id=5OepxIG42B4C. ↩↩↩↩
-
H. Elvang and Y. Huang. Scattering Amplitudes in Gauge Theory and Gravity. Cambridge University Press, 2015. ISBN 9781316195130. URL: https://books.google.com/books?id=1AG7BwAAQBAJ. ↩↩↩↩
-
M.D. Schwartz. Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, 2014. ISBN 9781107034730. URL: https://books.google.com/books?id=HbdEAgAAQBAJ. ↩↩↩
-
S. Badger, J. Henn, J.C. Plefka, and S. Zoia. Scattering Amplitudes in Quantum Field Theory. Springer International Publishing, 2023. ISBN 9783031469879. URL: https://books.google.com/books?id=-7frEAAAQBAJ. ↩↩
-
Lance J. Dixon. A brief introduction to modern amplitude methods. In Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics: Particle Physics: The Higgs Boson and Beyond, 31–67. 2014. arXiv:1310.5353, doi:10.5170/CERN-2014-008.31. ↩↩↩
-
Tomasz R. Taylor. A Course in Amplitudes. Phys. Rept., 691:1–37, 2017. arXiv:1703.05670, doi:10.1016/j.physrep.2017.05.002. ↩
-
Clifford Cheung. TASI lectures on scattering amplitudes. pages 571–623, 2018. arXiv:1708.03872, doi:10.1142/9789813233348_0008. ↩